Wie kann man Kurvenverläufe auswerten?

Allgemein

Ich möchte hierzu zwei verschiedene Verfahren vorstellen, die auf anderen Wegen jeweils zu einem ähnlichen Ziel – der Trennung der Briefmarken anhand der Spektralkurven – erreichen. Das erste Verfahren von Pearson ist ausführlich in der Wikipedia beschrieben. Es wird normalerweise nicht auf Spektralkurven von Briefmarken, sondern elektrische Signalverläufe und ähnliches angewendet. Das zweite Verfahren hat als Grundlage die Differenzialrechnung und deren Kurvenbeschreibungsmöglichkeiten.

Korrelation

Die Korrelation wird in Mathematik / Statistik dazu benutzt, den Grad der Übereinstimmung von Kurven zu ermitteln. Zur genauen Erklärung siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient (wurde im Anhang aus Wikipedia kopiert). Bei der Bestimmung der Kurvenverläufe bei Briefmarken wurde der Korrelationskoeffizient nach Pearson eingesetzt. Er liefert schon ohne Anpassung recht gute Werte.

Die normale Korrelation wird (siehe auch wikipedia)

Wobei = Kovarianz von x,y

Mit und = Mittelwert

Und und = Varianz

Bei näherer Betrachtung vereinfacht sich die Wurzel im Nenner von , da sie sich mit dem Quadrat der Varianz aufhebt.

Verbessern lässt sich die Korrelation, wenn man die spektralen Eigenschaften des Auges mit berücksichtigt. Dadurch werden die Werte am Rand weniger berücksichtigt als die Werte in der Mitte. Es wurde dazu eine Kurve aus der Summation der spektralen Empfindlichkeit (bei D65, 10°, siehe dazu auch die Abbildung oben) gebildet. Mit diesem Empfindlichkeitsfaktor wird die Kovarianz und die Varianz multipliziert. Daraus ergibt sich die Formel für den gewichteten Korrelationskoeffizient nach der gleichen Formel für . Lediglich die Bestimmung der Kovarianz

Dabei ist die spektrale Empfindlichkeit des Auges (als Summation der 3 Komponenten) an der betreffenden Wellenlänge.

Die Varianz ändert sich dementsprechend auch auf

Und für y

Dieser Wert hat sich als geringfügig besser herausgestellt. Interessant ist die Umschaltung zwischen beiden Werten für jede Marke. Ist die Zuordnung einer Marke für beide Korrelationskoeffizienten nicht gleich, ist sie meist auch für das menschliche Auge nicht trennbar.

Man kann nun für jede Briefmarke diesen Korrelationskoeffizienten zu Referenzmarken berechnen. Je näher der Korrelationskoeffizient zwischen der neuen Marke und Referenzmarke an 1 liegt, desto ähnlicher ist die neue Marke der Referenzmarke. Hat man alle Koeffizienten zu den Referenzmarken berechnet, ordnet man die neue Marke der Referenzfarbe zu, deren Koeffizient am nächsten zu 1 ist.

Was wird hierbei getan?

Es werden für die erste Marke die Spektralwerte als X und für die zweite Marke deren Spektralwerte als Y aufgetragen. Für die beiden 8-Pfg.- Marken des obigen Beispiels ist dies folgende blaue Kurve:

Mit Hilfe der Korrelation wird nun die Abweichung dieser Kurve einer gedachten Graden - im Bild rot dargestellt – ermittelt. Je geringer die Abweichung beider Kurven ist, desto ähnlicher sind die Kurven. Beim Korrelationskoeffizienten erkennt man dieses daran, wie nahe er an dem Wert 1 liegt.

Deutlicher wird es wenn man eine 3. Marke hinzunimmt und die Korrelation zu den beiden anderen Marken berechnet:

Ausgangslage:

Der Kurvenverlauf der grünen Marke wurde hinzugefügt.

Es ergeben sich demnach neu die Korrelationen

Und

Man erkennt deutlich, dass sich die Marken 1 und 3 sehr ähnlich sind, während zu der Marke 2 doch deutliche Abweichungen erkennbar sind.

Dieses drückt sich in der Korrelation wie folgt aus:

1 zu 2 = 0,9842
1 zu 3 = 0,9978
2 zu 3 = 0,9762

Die Korrelation 1 zu 3 hat die höchsten Werte und wen wundert es, wenn auch die Kurvenverläufe am ähnlichsten sind.


Differenzialrechnung (Kurvendiskussion)

Die Differenzialrechnung bietet ein weiteres Mittel zu Beschreibung von Kurvenverläufen. Mit Hilfe von Ableitungen kann man Extremwerte und Wendepunkte bestimmen. Dieses erfolgt durch Ableitungen. Im digitalen Bereich hat man dass Problem, dass sich zu 3 Werten von Kurven nur 2 Werte der Ableitung gehören. Dieses kommt dadurch, dass es für 3 Punkte einer Kurve nur 2 Steigungen gibt, also immer eine weniger als Kurvenpunkte. Damit die differenzierten Werte noch mit der Orginalkurve übereinstimmen, werden die differenzierten Werte einfach der Mitte zwischen den beiden Originalpunkten zugeordnet. Die Steigung der Kurve zwischen den Punkten 400nm und 410 nm wird einfach durch einen Punkt bei 405 nm dargestellt.

In diesem Bild wird schematisch dargestellt, wie der Verlauf der Ableitung dargestellt wird. Die schwarze Kurve ist der gemessene Kurvenverlauf. Die Ableitung davon ist eigentlich die blau gepunktete Linie. Würde man diese Linie zeichnen, wäre der Kurvenverlauf ziemlich eckig. Da man auch die Originalkurve mit geraden Verbindungslinien gezeichnet hat, habe die Verbindung auch als Kurve dargestellt, die blaue durchgezogene Kurve. Da der Verlauf der Kurve zwischen den Werten nicht definiert ist, dürfte dieses auch zulässig sein.

Der Nullstelle wird durch die Bestimmung des Nulldurchgangs der durch die beiden Begrenzungspunkte beschriebenen Geraden errechnet.

Durch diese Darstellung erhält man für jede Spektralkurve eine Beschreibung ihres Verlaufes durch die Extremwerte und Wendepunkte.

Unterschiedliche Kurvenverläufe erkennt man durch die unterschiedliche Lage der Extremwerte / Wendepunkte in dem Kurvenverlauf der 1. und 2. Ableitung.

Um eine Übersicht über die verschiedenen Kurvenverläufe zu erhalten, habe ich auf der X Achse die Marken und auf der y Achse die Extremwerte dargestellt. Dadurch erhält man einen guten Überblick über die Extremwerte aller vermessenen Marken.

Dieses möchte ich am Beispiel der 40 Pf Marke der Köpfe 1 Serie betrachten.

Die Spektren der verschiedenen Marken sehen wie folgt aus:

Man kann deutlich die verschiedenen Maxima im Bereich 420 nm bis 455 nm erkennen. Bei der Betrachtung aller Marken sieht dies wie folgt aus:

Die farbigen Punkte um die 410 nm sind Fehlmessungen. Die blauen Punkte (hellblau und dunkelblau)im Bereich um 430 nm stellen Maxima von Marken dar, die sich wohl nicht trennen lassen werden. Die hellroten Marken darunter haben wiederum einen kleinen Abstand, eine Trennung könnte möglich sein. Die violetten und dunkelroten Marken darunter sind gut trennbar, ebenso die grünen Marken.

Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass man auf einen Blick die Trennbarkeit von Kurven erkennen kann. Überlappen sich Gebiete, dürfte eine Trennung auf Grund des Spektralverlaufes schwer erreichbar sein. Dabei reicht es aus, wenn die Marken in einem Gebiet, in diesem Falle dem Bereich von 420 nm bis 460 nm trennbar sind. Dass sie im Bereich 520 nm bis 560 nm nicht trennbar sind, spielt keine Rolle.

Die Ableitungen von 3 Referenzmarken sehen Als Beispiel so aus:

Referenz Marke 40 Pf blau (Forschungsfarbe 2)

Referenz Marke 40 Pf grün (Forschungsfarbe 3)

Referenz Marke 40 Pf hellrot (Forschungsfarbe 5)

Die 2. Ableitung sieht wie folgt aus:

Hier erkennt man, dass sich die Farbe Blau und hellblau im Bereich von 638 nm gut trennen lassen. Übrigens lassen sich auch Messfehler aus der Kurve erkennen. Bei den blauen Punkten fällt im Bereich von 410 nm auf, dass sie wohl mit unterschiedlichen Messgeräten gemessen wurden.

Zur Zuordnung der Marken zu einer Farbe können Kriterien (z.B. 1. Ableitung Nullstelle im Bereich 460 nm bis 470 nm) herangezogen werden und hiermit eine Zuordnung der Marken zu bestimmten Forschungsfarben gemacht werden.